Question

14．如圖，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點A（-1，0），B（3，0）．請解答下列問題：
（1）求拋物線的解析式；
（2）點E（2，m）在拋物線上，拋物線的對稱軸與x軸交于點H，點F是AE中點，連接FH，求線段FH的長．

Answer 1

分析 （1）由于拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（3，0）兩點，根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的解析式；
（2）先得到點E（2，-3），根據(jù)勾股定理可求BE，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求線段HF的長．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過點A（-1，0），B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-3；

（2）∵點E（2，m）在拋物線上，
∴m=4-4-3=-3，
∴E（2，-3），
∴BE=$\sqrt{（3-2）^{2}+（0+3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵點F是AE中點，拋物線的對稱軸與x軸交于點H，即H為AB的中點，
∴FH是三角形ABE的中位線，
∴FH=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點評 考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：待定系數(shù)法求拋物線的解析式，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，方程思想的應(yīng)用，綜合性較強，有一定的難度．