Question

18．如圖，在平面直角坐標系xOy中，A、B為x軸上兩點，C、D為y軸上的兩點，經(jīng)過點A、C、B的拋物線C₁的一部分與經(jīng)過點A、D、B的拋物線C₂的一部分組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉曲線叫做“蛋線”．已知點C的坐標為（0，-$\frac{3}{2}$），點M是拋物線C₂：y=-x²+2x+3的頂點．
（1）求A、B、M三點的坐標；
（2）求拋物線C₁的解析式；
（3）“蛋線”在第四象限上是否存在一點P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出△PBC面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）在解析式y(tǒng)=-x²+2x+3中令y=0，可求得A、B坐標，再化為頂點式可求得M點坐標；
（2）利用A、B、C三點的坐標，由待定系數(shù)法可求得C₁的解析式；
（3）存在，設(shè)點P的坐標為（n，$\frac{1}{2}$n²-n-$\frac{3}{2}$），則可表示出△PBC的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值．

解答 題
（1）在y=-x²+2x+3中令y=0，可得-x²+2x+3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴M（1，4）；
（2）設(shè)C₁解析式為y=ax²+bx+c，
將A、B、C三點的坐標代入得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線C₁解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$；
（3）存在．
設(shè)點P的坐標為（n，$\frac{1}{2}$n²-n-$\frac{3}{2}$）（0＜n＜3），
則S_△PBC=S_△POC+S_△BOP-S_△BOC=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×n+$\frac{1}{2}$×3×（-$\frac{1}{2}$n²+n+$\frac{3}{2}$）-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{3}{2}$=-$\frac{3}{4}$（n-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{16}$，
∵-$\frac{3}{4}$＜0，
∴當n=$\frac{3}{2}$時，S_△PBC有最大值，最大值是$\frac{27}{16}$．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、三角形的面積及新定義等知識．在（1）中注意函數(shù)圖象與坐標軸的交點的求法及頂點式，在（2）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟，在（3）中用P點坐標表示出△PBC的面積，從而得到二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點不是太多，綜合性較強，但難度不大，相對容易得分．