Question

15．對于正實數a，b；（$\frac{a+b}{2}$）²-ab=$\frac{{a}^{2}+2ab+{b}^{2}}{4}$-$\frac{4ab}{4}$=$\frac{{a}^{2}-2ab+{b}^{2}}{4}$=（$\frac{a-b}{2}$）²
∵（$\frac{a-b}{2}$）²≥0；∴ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²；如圖：如果點A（a，b）是反比例函數y=$\frac{3}{x}$（x＞0）圖象上一點，過點A作x軸的垂線；過點A作y軸的垂線，垂足分別為點B，C，仿照上面給定的條件
（1）求出四邊形OBAC的周長最小值
（2）四邊形OBAC的周長最小時點A的坐標．

Answer 1

分析 （1）由點A在第一象限即可得出a＞0、b＞0、a+b＞0、ab=3，結合ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²即可得出a+b≥2$\sqrt{3}$，再根據矩形的周長公式即可得出結論；
（2）由當a=b時a-b=0，即可得出當a=b時四邊形OBAC的周長最小，結合ab=3即可得出點A的坐標．

解答 解：（1）∵點A（a，b）是反比例函數y=$\frac{3}{x}$（x＞0）圖象上一點，
∴a＞0，b＞0，a+b＞0，ab=3．
∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，
∴a+b≥2$\sqrt{3}$，
∴四邊形OBAC的周長2（a+b）≥4$\sqrt{3}$，即四邊形OBAC的周長最小值為4$\sqrt{3}$．
（2）∵當a=b時，a-b=0，
∴當a=b時，四邊形OBAC的周長最小．
∵ab=3，且點A（a，b）在第一象限，
∴四邊形OBAC的周長最小時點A的坐標為（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、不等式的性質以及矩形的周長，解題的關鍵是：（1）根據不等式的性質找出a+b≥2$\sqrt{3}$；（2）根據不等式的性質找出當a=b時，四邊形OBAC的周長最小．