Question

7．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=-x²+2x+c的圖象與x軸分別交于A、B兩點，其中點B在點A的右側，點A的坐標（-1，0），拋物線與y軸交于點C．
（1）求二次函數解析式；
（2）P是拋物線上一動點，過P作y軸平行線，交直線BC于點E，設點P的橫坐標為t，線段PE的長度為d（d≠0），求d與t之間的函數關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，將射線PE繞點P順時針旋轉45°，交拋物線于點Q，當PQ：PE=2$\sqrt{2}$：3時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法，把點A坐標代入拋物線的解析式解方程即可．
（2）首先求出直線BC的解析式，設P（t，-t²+2t+3），則E（t，-t+3），分三種情形①當t＜0時，d=-t+3-（-t²+2t+3）=t²-3t．②0＜t＜3時，d=-t²+2t+3-（-t+3）=-t²+3t．
③t＞3時，d=-t+3-（-t²+2t+3）=t²-3t．分別求解即可．
（3）分兩種情形討論）①如圖1中，當t＜0時，由題意PQ=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$PE=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$（t²-3t），想辦法用t表示Q點坐標，利用待定系數法即可解決問題．②如圖2中，當0＜t＜3時，方法類似①．

解答 解：（1）把A（-1，0）代入y=-x²+2x+c得0=-1-2+c，
∴c=3，
∴二次函數的解析式為y=-x²+2x+3．

（2）對于拋物線y=-x²+2x+3，令y=0，得-x²+2x+3=0，解得x=-1或3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴直線BC的解析式為y=-x+3，
設P（t，-t²+2t+3），則E（t，-t+3），
①當t＜0時，d=-t+3-（-t²+2t+3）=t²-3t．
②0＜t＜3時，d=-t²+2t+3-（-t+3）=-t²+3t．
③t＞3時，d=-t+3-（-t²+2t+3）=t²-3t．

（3）①如圖1中，當t＜0時，由題意PQ=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$PE=$\frac{2}{3}$$\sqrt{2}$（t²-3t），

∵∠EPQ=45°，P（t，-t²+2t+3），
∴點Q是橫坐標為t+$\frac{2}{3}$（t²-3t）=$\frac{2}{3}$t²-t，點Q的縱坐標為-t²+2t+3+$\frac{2}{3}$（t²-3t）=-$\frac{1}{3}$t²+3，
∴Q（$\frac{2}{3}$t²-t，-$\frac{1}{3}$t²+3），
把點Q坐標代入y=-x²+2x+3，得-$\frac{1}{3}$t²+3=-（$\frac{2}{3}$t²-t）²+2（$\frac{2}{3}$t²-t）+3，
整理得2t³-6t²-3t+9=0，
∴2t²（t-3）-3（t-3）=0，
∴（t-3）（2t²-3）=0，
∴t=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$或$\frac{\sqrt{6}}{2}$或3，
∵t＜0，
∴t=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

②如圖2中，當0＜t＜3時，

同法可得Q（$\frac{2}{3}$t²-t，-$\frac{1}{3}$t²+3），
把點Q坐標代入y=-x²+2x+3，得-$\frac{1}{3}$t²+3=-（$\frac{2}{3}$t²-t）²+2（$\frac{2}{3}$t²-t）+3，
整理得2t³-6t²-3t+9=0，
∴2t²（t-3）-3（t-3）=0，
∴（t-3）（2t²-3）=0，
∴t=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$或$\frac{\sqrt{6}}{2}$或3，
∵0＜t＜3，
∴t=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
③當t＞3時，射線PQ與拋物線沒有交點．
綜上所述，在（2）的條件下，將射線PE繞點P順時針旋轉45°，交拋物線于點Q，當PQ：PE=2$\sqrt{2}$：3時，t=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用、待定系數法等知識，解題的關鍵是靈活運用待定系數法，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．