Question

15．如圖，⊙O的直徑CD垂直于弦AB，垂足為E，F為DC延長線上一點，且FB為⊙O的切線；
（1）求證：∠CBF=∠CDB．
（2）若AB=8，CE=2，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）連接OB，由切線的性質和圓周角定理可求得∠OBF=∠CBD=90°，再利用角的和差可求得∠CBF=∠OBD，再由圓的性質可求得∠CDB=∠OBD，可證得結論；
（2）可設半徑為r，則OE=r-2，由垂徑定理可求得BE=4，在Rt△OBE中，由勾股定理可列方程，可求得r，則可求得⊙O的直徑．

解答 （1）證明：
如圖，連接OB，
∵FB為⊙O的切線，
∴OB⊥BF，即∠OBF=90°，
∵CD為直徑，
∴∠CBD=90°，
∴∠CBF+∠OBC=∠OBC+∠DBO=90°，
∴∠CBF=∠DBO，
∵OB=OD，
∴∠CDB=∠DBO，
∴∠CBF=∠CDB；
（2）解：
設⊙O的半徑為r，則OE=OC-CE=r-2，
∵AB⊥CD，且CD為直徑，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=4，
在Rt△OBE中，由勾股定理可得OB²=OE²+BE²，
∴r²=（r-2）²+4²，解得r=5，
∴⊙O的直徑為10．

點評 本題主要考查切線的性質及垂徑定理，在（1）中利用切線的性質和圓周角定理求得∠OBD=∠CBF是解題的關鍵，在（2）中注意方程思想的應用．