Question

7．如圖1，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AC上一點，連結EB，過點A作AM⊥BE，垂足為M，AM交BD于點F．
（1）試說明OE=OF；
（2）如圖21，若點E在AC的延長線上，AM⊥BE于點M，交DB的延長線于點F，其它條件不變，則結論“OE=OF”還成立嗎？如果成立，請給出說明理由；如果不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 根據正方形對角線互相垂直平分的性質可以證明OA=OB，（1）求證∠1=∠2，進而證明Rt△BOE≌Rt△AOF，即可得OE=OF．（2）求證∠E=∠F，進而證明Rt△AOF≌Rt△BOE，根據全等三角形對應邊相等的性質即可得OE=OF．

解答 解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形
∴∠BOE=∠AOF=90°，
OB=OA，
又∵AM⊥BE，
∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，
∴∠MEA=∠AFO，
∴Rt△BOE≌Rt△AOF，
∴OE=OF；
（2）OE=OF成立；
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA，
又∵AM⊥BE，
∴∠F+∠MBF=90°=∠B+∠OBE，
又∵∠MBF=∠OBE，
∴∠F=∠E，
∴Rt△BOE≌Rt△AOF，
∴OE=OF．

點評 本題考查了正方形各邊長相等、各內角為直角的性質，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，本題中求證Rt△AOF≌Rt△BOE是解題的關鍵．