Question

（12分）如圖1，將兩個完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.

（1）操作發現

如圖2，固定△ABC，使△DEC繞點C旋轉，當點D恰好落在AB邊上時，填空：

①線段DE與AC的位置關系是_________；（2分）

②設△BDC的面積為S1，△AEC的面積為S2，則S1與S2的數量關系是_________________.（2分）

（2）猜想論證

當△DEC繞點C旋轉到圖3所示的位置時，小明猜想（1）中S1與S2的數量關系仍然成立，并嘗試分別作出了△BDC和△AEC中BC、CE邊上的高，請你證明小明的猜想．（5分）

（3）拓展探究

已知∠ABC=60°，點D是其角平分線上一點，BD=CD=4，DE//AB交BC于點E（如圖4）.

若在射線BA上存在點F，使，請直接寫出相應的BF的長：BF＝＿＿＿＿＿．（3分）

 

 

Answer 1

（1）①DE∥AC；②；（2）成立，證明見試題解析；（3）或．

【解析】

試題分析：（1）①根據旋轉的性質可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得∠ACD=60°，然后根據內錯角相等，兩直線平行解答；

②根據等邊三角形的性質可得AC=AD，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根據等邊三角形的性質求出點C到AB的距離等于點D到AC的距離，然后根據等底等高的三角形的面積相等解答；

（2）根據旋轉的性質可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據全等三角形對應邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；

（3）過點D作DF1∥BE，求出四邊形BEDF1是菱形，根據菱形的對邊相等可得BE=DF1，然后根據等底等高的三角形的面積相等可知點F1為所求的點，過點D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，從而得到△DF1F2是等邊三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“邊角邊”證明△CDF1和△CDF2全等，根據全等三角形的面積相等可得點F2也是所求的點，然后在等腰△BDE中求出BE的長，即可得解．

試題解析：（1）①∵△DEC繞點C旋轉點D恰好落在AB邊上，∴AC=CD，

∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ACD=60°，

又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；

②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，

根據等邊三角形的性質，△ACD的邊AC、AD上的高相等，

∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即S1=S2；

故答案為：DE∥AC；S1=S2；

（2）如圖，∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉得到，∴BC=CE，AC=CD，

∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，

在△ACN和△DCM中，∵∠ACN=∠DCM，∠CMD=∠N=90°，AC=CD，∴△ACN≌△DCM（AAS），

∴AN=DM，∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即S1=S2；

（3）如圖，過點D作DF1∥BE，易求四邊形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，

此時S△DCF1=S△BDE；過點D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，

∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，

∴△DF1F2是等邊三角形，∴DF1=DF2，

∵BD=CD，∠ABC=60°，點D是角平分線上一點，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，

∴∠CDF1=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，∠CDF2=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，在△CDF1和△CDF2中，∵ DF1=DF2，∠CDF1=∠CDF2，CD=CD，

∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴點F2也是所求的點，

∵∠ABC=60°，點D是角平分線上一點，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，

又∵BD=4，∴BE=×4÷cos30°=，∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=，

故BF的長為或．

考點：全等三角形的判定與性質．