Question

（8分）如圖，在△ABC中，∠ABC=45º，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，BE與DF、DC分別交于點(diǎn)G、H，∠ABE=∠CBE。

（1）線段BH與AC相等嗎？若相等給予證明，若不相等請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）求證：

Answer 1

（1）BH=AC,（2）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）由CD⊥AB知∠BDC=∠BEC，因?yàn)椤螦BC=45º，所以∠ABC=∠BCD ，故CD=BD 又因BE⊥AC所以∠ACD,∠ABE都是∠A的余角故相等，因此可證△DBH≌△DCA所以BH=AC

（2） 連接GC，根據(jù)“等腰三角形三線合一”的性質(zhì)：由BE⊥AC，∠ABE=∠CBE可得AE=CE

BF=FC,BD=CD得BG=CG因?yàn)镚C2-GE2=CE2.所以BG2-GE2=EA2

試題解析：（1）BH=AC

證明：∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90º, ∠ABC=45º,

∴∠BCD=45º=∠ABC,

∴DB=DC.

又∵∠BHD=∠CHE

∴∠DBH=∠DCA

∴△DBH≌△DCA

∴BH=AC.

（2）證明：連接GC，∴GC2-GE2=CE2.

∵F為BC的中點(diǎn)，DB=DC

∴DF垂直平分BC，

∴BG=GC，∴BG2-GE2=EC2

∵∠ABE=∠CBE ∴EC=EA

∴BG2-GE2=EA2

考點(diǎn)：“ASA”判定三角形全等 ，三線合一，勾股定理.