Question

（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，O是BC邊上一點，以O為圓心的半圓與AB邊相切于點D，與AC、BC邊分別交于點E、F、G，連接OD，已知∠B＝60°，BD=，AE=3．

（1）求⊙O的半徑OD；

（2）求證：AE是⊙O的切線；

（3）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

（1）3；（2）證明見試題解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由AB為圓O的切線，利用切線的性質得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用銳角三角函數定義，根據tan∠BOD及BD的值，求出OD的值即可；

（2）連接OE，由AE=OD=3，且OD與AE平行，利用一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形，根據平行四邊形的對邊平行得到OE與AD平行，再由DA與AE垂直得到OE與AC垂直，即可得證；

（3）陰影部分的面積由三角形BOD的面積﹣扇形DOF的面積，求出即可．

試題解析：（1）∵AB與圓O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD= tan60° ==，∴OD=3；

（2）連接OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四邊形AEOD為平行四邊形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE為圓的半徑，∴AE為圓O的切線；

（3）===．

考點：1．切線的判定與性質；2．扇形面積的計算．