Question

10．閱讀材料：如果一個花壇的長，寬分別是m、n，且m、n滿足m²-2mn+2n²-4n+4=0，求花壇的面積．
解：∵m²-2mn+2n²-4n+4=0，∴（m²-2mn+n²）+（n²-4n+4）=0
∴（m-n）²+（n-2）²=0，∴（m-n）²=0，（n-2）²=0，∴m=n，n=2．
∴mn=4
根據你的觀察和思考，探究下面的問題：
（1）若x²-2xy+5y²+4y+1=0，求xy的值；
（2）若5x²+y²+z²+4xy-2xz=0，求代數式x-y-3z的值；
（3）若△ABC的三邊長a、b、c都是正整數，且滿足a²+b²-10a-12b+61=0，求△ABC的周長的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用完全平方公式分組分解，進一步利用非負數的性質求得x、y的數值，進一步代入求得答案即可；
（2）利用完全平方公式分組分解，進一步利用非負數的性質求得x、y、z的關系，進一步代入求得答案即可；
（3）利用完全平方公式分組分解，進一步利用非負數的性質求得a、b的數值，進一步利用三角形的三邊關系求得c，再求得周長即可．

解答 解：（1）∵x²-2xy+5y²+4y+1=0，
∴（x-y）²+（2y+1）²=0，
∴x-y=0，2y+1=0
∴x=y=-$\frac{1}{2}$，
∴xy=$\frac{1}{4}$．
（2）∵5x²+y²+z²+4xy-2xz=0，
∴（2x+y）²+（x-z）²=0，
∴2x+y=0，x-z=0
∴-y=2x，z=x，
∴x-y-3z=x+2x-3x=0．
（3）∵a²+b²-10a-12b+61=0，
∴（a-5）²+（b-6）²=0，
∴a-5=0，b-6=0
∴a=5，b=6．
∴1＜c＜11，
∵c為整數，
∴c的最大值為10，
∴△ABC的周長的最大值為21．

點評 此題考查配方法的運用，非負數的性質，掌握完全平方公式是解決問題的關鍵．