Question

18．如圖，邊長為$\sqrt{2}$的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在一個半徑為$\sqrt{2}$的圓上，頂點(diǎn)C、D在圓內(nèi)，將正方形ABCD沿圓的內(nèi)壁逆時針方向作無滑動的滾動．當(dāng)點(diǎn)C第一次落在圓上時，點(diǎn)C運(yùn)動的路徑長為$（{\frac{1}{3}+\frac{{\sqrt{2}}}{6}}）π$．

Answer 1

分析 設(shè)圓心為O，連接AO，BO，AC，AE，易證三角形AOB是等邊三角形，確定∠GFE=∠EAC=30°，再利用弧長公式計算即可．

解答 解：如圖所示：
設(shè)圓心為O，連接AO，BO，AC，AE，
∵AB=$\sqrt{2}$，AO=BO=$\sqrt{2}$，
∴AB=AO=BO，
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠AOB=∠OAB=60°
同理：△FAO是等邊三角形，∠FAB=2∠OAB=120°，
∴∠EAC=120°-90°=30，∠GFE=∠FAD=120°-90°=30°，
∵AD=AB=$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=2，
當(dāng)點(diǎn)C第一次落在圓上時，點(diǎn)C運(yùn)動的路徑長為$\frac{30π×2}{180}$+$\frac{30π×\sqrt{2}}{180}$=$（{\frac{1}{3}+\frac{{\sqrt{2}}}{6}}）π$；
故答案為：$（{\frac{1}{3}+\frac{{\sqrt{2}}}{6}}）π$．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用以及弧長公式的運(yùn)用，題目的綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是正確的求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．