Question

7．已知：△ABC中，∠A=30°，AB=6，BC=2$\sqrt{3}$．求：AC的長．

Answer 1

分析 分兩種情況：①當△ABC是銳角三角形時，作CD⊥AB于D，由含30°角的直角三角形的性質得出AC=2CD，設CD=x，則AC=2x，由勾股定理得出AD=$\sqrt{3}$x，因此BD=6-$\sqrt{3}$x，在Rt△BCD中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②當△ABC不是銳角三角形時，作CD⊥AB于D，同①在Rt△BCD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：分兩種情況：
①當△ABC是銳角三角形時，
作CD⊥AB于D，如圖1所示：
則∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠A=30°，
∴AC=2CD，
設CD=x，則AC=2x，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{3}$x，
∴BD=6-$\sqrt{3}$x，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：CD²+BD²=BC²，
即x²+（6-$\sqrt{3}$x）²=（2$\sqrt{3}$）²，
解得：x=$\sqrt{3}$，或x=2$\sqrt{3}$（不合題意，舍去），
∴CD=$\sqrt{3}$，
∴AC=2$\sqrt{3}$；
②當△ABC不是銳角三角形時，
作CD⊥AB于D，如圖2所示：
則∠ADC=∠BDC=90°，
同①得：CD²+BD²=BC²，
即x²+（$\sqrt{3}$x-6）²=（2$\sqrt{3}$）²，
解得：x=2$\sqrt{3}$，或x=$\sqrt{3}$（不合題意，舍去），
∴CD=2$\sqrt{3}$，
∴AC=4$\sqrt{3}$；
綜上所述：AC的長為2$\sqrt{3}$或4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性質；熟練掌握含30°角的直角三角形的性質，由勾股定理得出方程是解決問題的關鍵；注意分類討論．