Question

2．如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的頂點A，C分別在y軸，x軸上，∠ACB=90°，OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，拋物線y=ax²-ax-a經(jīng)過點B（2，$\sqrt{3}$），與y軸交于點D．
（1）求拋物線的表達式；
（2）點B關(guān)于直線AC的對稱點是否在拋物線上？請說明理由；
（3）延長BA交拋物線于點E，連接ED，試說明ED∥AC的理由．

Answer 1

分析 （1）由點B的坐標利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的函數(shù)表達式；
（2）過點B作BF⊥x軸于點F，通過角的計算找出∠OAC=∠FCB，由此可證出△OAC∽△FCB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出比例關(guān)系$\frac{FB}{OC}=\frac{FC}{OA}$，從而求出點C的坐標，再根據(jù)∠ACB=90°以及點B的坐標找出點B關(guān)于直線AC的對稱點的坐標，驗證其是否在拋物線圖象上即可得出結(jié)論；
（3）延長BC交y軸于點D，根據(jù)點A、B的坐標利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，即可求出點E的坐標，由點C為線段BD的中點，來驗證點A是否為線段BE的中點，若是則ED∥AC，若不是則二者不平行．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²-ax-a經(jīng)過點B（2，$\sqrt{3}$），
∴$\sqrt{3}$=4a-2a-a，解得：a=$\sqrt{3}$，
∴該拋物線的表達式為y=$\sqrt{3}$x²-$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$．
（2）過點B作BF⊥x軸于點F，如圖1所示．

∵∠ACB=90°，AO⊥x軸，BF⊥x軸，
∴∠AOC=∠CFB=90°，∠OAC+∠OCA=90°=∠OCA+∠FCB，
∴∠OAC=∠FCB，
∴△OAC∽△FCB．
∴$\frac{FB}{OC}=\frac{FC}{OA}$．
設(shè)OC=b，則CF=2-b，BF=$\sqrt{3}$，OA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴有b²-2b+1=0，
解得：b=1．
∴點C的坐標為（1，0）．
又∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∴點B關(guān)于直線AC的對稱點的坐標為（1×2-2，0×2-$\sqrt{3}$），即（0，-$\sqrt{3}$）．
令拋物線y=$\sqrt{3}$x²-$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$中x=0，則y=-$\sqrt{3}$，
∴點B關(guān)于直線AC的對稱點在拋物線上．
（3）由（2）可知點B、D關(guān)于直線AC對稱，且點C為線段BD的中點．
延長BC交y軸于點D，如圖2所示．

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\sqrt{3}$=2k+$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得：k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線AB的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
聯(lián)立直線AB與拋物線解析式得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{y=\sqrt{3}{x}^{2}-\sqrt{3}x-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{3}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{9}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴點E的坐標為（-$\frac{2}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{9}$）．
線段BE的中點坐標為（$\frac{2}{3}$，$\frac{5\sqrt{3}}{9}$），此點不同于點A，
∴ED不平行于AC．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定及性質(zhì)、解二元二次方程組以及平行線的判定定理，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）求出點C的坐標；（3）求出點E的坐標．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問題是關(guān)鍵．