Question

12．如圖，平行四邊形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分別是AB、CD上的點，且BE=DF，連接EF交BD于O．
（1）求證：BO=DO；
（2）若EF⊥AB，延長EF交AD的延長線于G，當FG=1時，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質和AAS證明△OBE≌△ODF，得出對應邊相等即可；
（2）證出AE=GE，再證明DG=DO，得出OF=FG=1，即可得出結果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC∥AB，
∴∠OBE=∠ODF．      
在△OBE與△ODF中，
$\left\{\begin{array}{l}∠OBE=∠ODF\\∠BOE=∠DOF\\ BE=DF\end{array}\right.$
∴△OBE≌△ODF（AAS）．
∴BO=DO．              
（2）解：∵EF⊥AB，AB∥DC，
∴∠GEA=∠GFD=90°．
∵∠A=45°，
∴∠G=∠A=45°．      
∴AE=GE                   
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=∠GDO=90°．
∴∠GOD=∠G=45°．      
∴DG=DO，
∴OF=FG=1，
由（1）可知，OE=OF=1，
∴GE=OE+OF+FG=3，
∴AE=3．

點評 本題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質；熟練掌握平行四邊形的性質，證明三角形全等是解決問題（1）的關鍵．