Question

11．為了給草坪噴水，安裝了自動旋轉噴水器，如圖所示．設直線AD所在位置為地平面，噴水管AB高出地平面1.5m，在B處有一個自動旋轉的噴水頭，一瞬間噴出的水流呈拋物線狀．噴頭B與水流最高點C的連線與地平面成45°的角，水流的最高點C離地平面3.5m，水流的落地點為D．在建立如圖所示的直角坐標系中：
（1）求拋物線的函數解析式；
（2）求水流的落地點D到A點的距離．

Answer 1

分析 （1）把拋物線的問題放到直角坐標系中解決，是探究實際問題常用的方法，本題關鍵是解等腰直角三角形，求出拋物線頂點C（2，3.5）及B（0，1.5），設頂點式求解析式；
（2）求AD，實際上是求當y=0時點D橫坐標．

解答 解：在如圖所建立的直角坐標系中，
由題意知，B點的坐標為（0，1.5），∠CBE=45°，
∴△BEC為等腰直角三角形，
∴BE=2，
∴C點坐標為（2，3.5），
（1）設拋物線的函數解析式為
y=ax²+bx+c（a≠0），
則拋物線過點（0，1.5）頂點為（2，3.5），
∴當x=0時，y=c=1.5
由-$\frac{2a}$，得b=-4a，
由$\frac{4ac-^{2}}{4a}$，得$\frac{6a-16{a}^{2}}{4a}$，
解之，得a=0（舍去），a=-$\frac{1}{2}$，
∴b=-4a=2．
所以拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{3}{2}$；

（2）∵D點為拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{3}{2}$的圖象與x軸的交點，
∴當y=0時，即：-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{3}{2}$=0，
解得x=2±$\sqrt{7}$，
x=2-$\sqrt{7}$不合題意，舍去，取x=2+$\sqrt{7}$．
∴D點坐標為（2+$\sqrt{7}$，0），
∴AD=（2+$\sqrt{7}$）（m）．
答：水流的落地點D到A點的距離是（2+$\sqrt{7}$）m．

點評 本題考查的是二次函數的應用，掌握待定系數法求函數解析式和二次函數的性質是解題的關鍵．