Question

如圖，過線段AB的兩個端點作射線AM、BN，使AM∥BN，畫∠MAB、∠NBA的平分線交于E，按下列要求回答：

（1）∠AEB是什么角？并說明理由。

（2）過點E作一直線交AM于D，交BN于C，觀察線段DE、CE，你有何發(fā)現(xiàn)？

（3）無論DC的兩端點在AM、BN如何移動，只要DC經(jīng)過點E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD誰成立？并說明理由

Answer 1

∠AEB為直角；理由見解析；（2）ED=EC；（3）AD+BC=AB．理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）由兩直線平行同旁內(nèi)角互補，及角平分線的性質不難得出∠1+∠3=90°，再由三角形內(nèi)角和等于180°，即可得出∠AEB是直角的結論；

（2）過E點作輔助線EF使其平行于AM，由平行線的性質可得出各角之間的關系，進一步求出邊之間的關系；

（3）由（2）中得出的結論可知EF為梯形ABCD的中位線，可知無論DC的兩端點在AM、BN如何移動，只要DC經(jīng)過點E，AD+BC的值總為一定值．

試題解析：（1）∵AM∥BN，

∴∠MAB+∠ABN=180°，

又AE，BE分別為∠MAB、∠NBA的平分線，

∴∠1+∠3=（∠MAB+∠ABN）=90°，

∴∠AEB=180°-∠1-∠3=90°，

即∠AEB為直角；

（2）過E點作輔助線EF使其平行于AM，

∵AM∥BN，EF∥BC，

∴EF∥AD∥BC，

∴∠AEF=∠4，∠BEF=∠2，

∵∠3=∠4，∠1=∠2，

∴∠AEF=∠3，∠BEF=∠1，

∴AF=FE=FB，

∴F為AB的中點，又EF∥AD∥BC，

根據(jù)平行線等分線段定理得到E為DC中點，

∴ED=EC；

（3）由（2）中結論可知，無論DC的兩端點在AM、BN如何移動，只要DC經(jīng)過點E，

總滿足EF為梯形ABCD中位線的條件，所以總有AD+BC=2EF=AB．

考點：1.梯形中位線定理；2.平行線的性質；3.三角形內(nèi)角和定理；4.等腰三角形的性質．