Question

如圖1，將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點E與正方形ABCD的頂點A重合，三角板的一邊交CD于點F，另一邊交CB的延長線于點G.

（1）求證：EF＝EG；

（2）如圖2，移動三角板，使頂點E始終在正方形ABCD的對角線AC上，其他條件不變．（1）中的結論是否仍然成立？若成立，情給予證明；若不成立，請說明理由；

Answer 1

（1）證明見解析；（2）是，證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）由四邊形ABCD是正方形，點E與點A重合，易證得ED=EB，∠D=∠EBG=90°，又由∠GEF=90°，利用同角的余角相等，即可得∠BEG=∠DEF，然后利用ASA即可判定△BEG≌△DEF，則可證得EF=EG；

（2）首先過點E作EH⊥CD于H，作EK⊥BC于K，易證得四邊形EKCH是正方形，同（1）即可證得△GEK≌△FEH，證得EF=EG．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，點E與點A重合，

∴ED=EB，∠D=∠EBG=90°，

∵∠GEF=90°，

∴∠BEG+∠BEF=∠BEF+∠DEF=90°，

∴∠BEG=∠DEF，

在△BEG和△DEF中，

，

∴△BEG≌△DEF（ASA），

∴EF=EG；

（2）成立．理由：

【解析】
過點E作EH⊥CD于H，作EK⊥BC于K，

∴∠EHC=∠EKC=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，∠HCE=45°，

∴四邊形EKCH是矩形，∠HEC=∠HCE=45°，

∴EH=CH，

∴四邊形EKCH是正方形，

∴EH=EK，∠EHF=∠EKG=90°，

∵∠GEF=90°，

∴∠GEK+∠KEF=∠KEF+∠FEH=90°，

∴∠GEK=∠FEH，

在△GEK和△FEH中，

，

∴△GEK≌△FEH（ASA），

∴EF=EG．

考點：1.正方形的性質；2.全等三角形的判定與性質．