Question

如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的頂點為D點，與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，A點在原點的左側，B點的坐標為（3，0），A點坐標為（-1,0）OB＝OC ，

（1）求這個二次函數的表達式．

（2）經過C、D兩點的直線，與x軸交于點E，在該拋物線上是否存在這樣的點F，使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）如圖2，若點G（2，y）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△APG的面積最大？求出此時P點的坐標和△APG的最大面積.

圖1 圖2

 

Answer 1

（1）二次函數的表達式為：y=x2-2x-3；

（2）存在，F（2，-3）；理由見解析；

（3）當x＝時，△APG的面積最大為；此時P點的坐標為（，-）．

【解析】

試題分析：（1）根據已知條件，易求得C、A的坐標，可用待定系數法求出拋物線的解析式；

（2）根據以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，由平行四邊形的性質以及二次函數的性質得出AE=CF，AE∥CF即可得出答案．

（3）易求得AC的長，由于AC長為定值，當P到直線AG的距離最大時，△APG的面積最大．可過P作y軸的平行線，交AG于Q；設出P點坐標，根據直線AG的解析式可求出Q點坐標，也就求出PQ的長，進而可得出關于△APG的面積與P點坐標的函數關系式，根據函數的性質可求出△APG的最大面積及P點的坐標，根據此時△APG的面積和AG的長，即可求出P到直線AC的最大距離．

試題解析：（1）由已知得：C（0，-3），

設該表達式為： y=ax2+bx+c=a（x+1）（x-3）

將C點的坐標代入得：a=1

所以這個二次函數的表達式為：y=x2-2x-3；

（2）如圖，

又y=（x-1）2-4，∴頂點D（1，-4）．

容易求得直線CD的表達式是y=-x-3．

在y=-x-3中，令y=0，得x=-3．

∴E（-3，0），

∵A（-1，0），

∴AE=2．

在y=x2-2x-3中，令y=-3，得x1=0，x2=2，

∴CF=2，

∴AE=CF．

∵AE∥CF，

∴四邊形AECF為平行四邊形，此時F（2，-3）．

（3）過點P作y軸的平行線與AG交于點Q，

易得G（2，-3），直線AG為y=-x-1；

設P（x，x2-2x-3），則Q（x，-x-1），PQ=-x2+x+2；

S△APG＝S△APQ+S△GPQ＝（?x2+x+2）×3＝?（x?）2+

當x＝時，△APG的面積最大為；

又AG＝3，P到AG的最大距離為==，此時P點的坐標為（，-）．

考點：1、待定系數法；2、平行四邊形的判定；3、圖形的面積