Question

6．如圖，在?ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，過BC的中點E作EF⊥AB，垂足為點F，與DC的延長線相交于點H．
（1）求證：△BEF≌△CEH；
（2）求DE的長．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質得出AB∥CD，由AAS證明△BEF≌△CEH即可；
（2）由平行四邊形的性質得出CD=AB=3，BC=AD=4，AB∥CD，由平行線的性質得出∠HCE=∠B=60°，證出EF⊥DH，由含30°角的直角三角形的性質得出CH=$\frac{1}{2}$CE=1，求出EH=$\sqrt{3}$CG=$\sqrt{3}$，DH=CD+CH=4，由勾股定理求出DE即可．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∵EF⊥AB∴EF⊥CD，∴∠BFE=∠CHE=90°，
∵E是BC的中點，
∴BE=CE，
在△BEF和△CEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFE=∠CHE}&{\;}\\{∠BEF=∠CEH}&{\;}\\{BE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△CEH（AAS）；
（2）解：∵EF⊥AB，∠ABC=60°，BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AD=2．
∴BF=1，EF=$\sqrt{3}$．
∵△BEF≌△CEH，
∴BF=CH=1，EF=EH=$\sqrt{3}$，DH=4，
∵∠CHE=90°，
∴DE²=EH²+DH²．
∴DE=$\sqrt{3+16}$=$\sqrt{19}$．

點評 本題考查了平行四邊形的性質、含30°角的直角三角形的性質、勾股定理；熟練掌握平行四邊形的性質，由含30°角的直角三角形的性質求出CG是解決問題的關鍵．