Question

18．如圖，Rt△ABC的頂點B在反比例函數y=$\frac{12}{x}$的圖象上，AC邊在x軸上，已知∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，則圖中陰影部分的面積是12-$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由∠ACB=90°，BC=4，得出B點縱坐標為4，根據點B在反比例函數y=$\frac{12}{x}$的圖象上，求出B點坐標為（3，4），則OC=3，再解Rt△ABC，得出AC=4$\sqrt{3}$，則OA=4$\sqrt{3}$-3，設AB與y軸交于點D，由OD∥BC，根據平行線分線段成比例定理得到比例式，求得OD=4-$\sqrt{3}$，最后根據梯形的面積公式即可求出陰影部分的面積．

解答 解：∵∠ACB=90°，BC=4，
∴B點縱坐標為4，
∵點B在反比例函數y=$\frac{12}{x}$的圖象上，
∴當y=4時，x=3，即B點坐標為（3，4），
∴OC=3．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，
∴AB=2BC=8，AC=$\sqrt{3}$BC=4$\sqrt{3}$，OA=AC-OC=4$\sqrt{3}$-3．
設AB與y軸交于點D．
∵OD∥BC，
∴$\frac{OA}{AC}$=$\frac{OD}{BC}$，即$\frac{4\sqrt{3}-3}{4\sqrt{3}}$=$\frac{OD}{4}$，
解得，OD=4-$\sqrt{3}$，
∴陰影部分的面積=$\frac{1}{2}$×（OD+BC）×OC=12-$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
故答案為：12-$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了反比例函數系數k的幾何意義，含30度角的直角三角形的性質，平行線分線段成比例定理，求出B點坐標及OD的長度是解題的關鍵．