Question

9．正三角形的內切圓及外接圓的半徑之比1：2．

Answer 1

分析 作出輔助線OD、OE，證明△AOD為直角三角形且∠OAD為30°，即可求出OD、OA的比．

解答 解：如圖，連接OD、OE；
∵AB、AC切圓O于E、D，
∴OE⊥AB，OD⊥AC，OD=OE，
∴∠DAO=∠EAO；
又∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠OAC=60°×$\frac{1}{2}$=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$OA，
∴OD：AO=1：2．
即正三角形的內切圓與外接圓半徑之比是1：2．
故答案為：1：2．

點評 此題主要考查了正多邊形和圓、正三角形的內心與外心、正三角形的性質、含30°角的直角三角形的性質；熟練掌握正三角形的性質，由含30°角的直角三角形的性質得出結果是解決問題的關鍵．