Question

6．如圖，C是以AB為直徑的⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為點D．
（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）若CD=3，tan∠DAC=$\frac{1}{2}$，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）如圖連接OC，只要證明∠DAC=∠ACO，∠ACO=∠CAB即可．
（2）連接BC，只要證明△ADC∽△ACB，得$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，再求出AD、AC即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖連接OC，
∵CD切⊙O于點C，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∴AC平分∠BAD．

（2）如圖連接BC．
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠ACB，
∵∠DAC=∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，
∵tan∠ADC=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，CD=3，
∴AD=6，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∴$\frac{6}{3\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{AB}$，
∴AB=$\frac{15}{2}$，即⊙O的直徑為$\frac{15}{2}$．

點評 本題考查切線的性質、角平分線的性質、銳角三角函數、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形，屬于中考常考題型．