Question

已知拋物線的頂點為P（－4，－），與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中B點坐標為（1，0）

（1）求這條拋物線的函數關系式；

（2）若拋物線的對稱軸交x軸于點D，則在線段AC上是否存在這樣的點Q，使得△ADQ為等腰三角形？若存在，請求出符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

y=x2+4x-；存在點Q1（-1，-4），Q2（2-9，-），Q3（-，-）．

【解析】

試題分析：（1）根據頂點坐標把拋物線設為頂點式形式y=a（x+4）2-，然后把點B的坐標代入解析式求出a的值，即可得解；

（2）先根據頂點坐標求出點D的坐標，再根據拋物線解析式求出點A、C的坐標，從而得到OA、OC、AD的長度，根據勾股定理列式求出AC的長度，然后根據銳角三角形函數求出∠OAC的正弦值與余弦值，再分①AD=Q1D時，過Q1作Q1E1⊥x軸于點E1，根據等腰三角形三線合一的性質求出AQ1，再利用∠OAC的正弦求出Q1E1的長度，根據∠OAC的余弦求出AE1的長度，然后求出OE1，從而得到點Q1的坐標；②AD=AQ2時，過Q2作Q2E2⊥x軸于點E2，利用∠OAC的正弦求出Q2E2的長度，根據∠OAC的余弦求出AE2的長度，然后求出OE2，從而得到點Q2的坐標；③AQ3=DQ3時，過Q3作Q3E3⊥x軸于點E3，根據等腰三角形三線合一的性質求出AE3的長度，然后求出OE3，再由相似三角形對應邊成比例列式求出Q3E3的長度，從而得到點Q3的坐標．

試題解析：（1）∵拋物線頂點坐標為（-4，-），

∴設拋物線解析式為y=a（x+4）2-

∵拋物線過點B（1，0），

∴a（1+4）2-=0，

解得a=，

所以，拋物線解析式為y=（x+4）2-，

即y=x2+4x-；

（2）存在點Q1（-1，-4），Q2（2-9，-），Q3（-，-）．

理由如下：∵拋物線頂點坐標為（-4，-），

∴點D的坐標為（-4，0），

令x=0，則y=-，

令y=0，則x2+4x-=0，

整理得，x2+8x-9=0，

解得x1=1，x2=-9，

∴點A（-9，0），C（0，-），

∴OA=9，OC=，AD=-4-（-9）=-4+9=5，

在Rt△AOC中，根據勾股定理，AC=

∴sin∠OAC=

cos∠OAC=，

①AD=Q1D時，過Q1作Q1E1⊥x軸于點E1，

根據等腰三角形三線合一的性質，AQ1=2•ADcos∠OAC=2×5×，

Q1E1=AQ1•sin∠OAC=×=4，

AE1=AQ1•cos∠OAC=×=8，

所以，OE1=OA-AE1=9-8=1，

所以，點Q1的坐標為（-1，-4）；

②AD=AQ2時，過Q2作Q2E2⊥x軸于點E2，

Q2E2=AQ2•sin∠OAC=5×=，

AE2=AQ2•cos∠OAC=5×=2，

所以，OE2=OA-AE2=9-2，

所以，點Q2的坐標為（2-9，-）；

③AQ3=DQ3時，過Q3作Q3E3⊥x軸于點E3，

則AE3=AD=×5=，

所以，OE3=9-=，

∵Q3E3⊥x軸，OC⊥OA，

∴△AQ3E3∽△ACO，

∴，

即，

解得Q3E3=，

所以，點Q3的坐標為（-，-），

綜上所述，在線段AC上存在點Q1（-1，-4），Q2（2-9，-），Q3（-，-），使得△ADQ為等腰三角形．

考點：二次函數綜合題．