Question

16．已知：∠ABP=30°，∠PBC=10°，∠PCB=10°，∠ACP=10°．求：∠BAP的度數．

Answer 1

分析 先過點A作AD⊥BP于D，延長AD至點N，使得AD=ND，設ND交BC于M，連接BN，在BC上截取點Q，使得CA=CQ，連接AQ，NQ，PQ，延長CP交AQ于E，則AC=QC，∠ACP=∠BCP，進而得出AP=QP，以及AQ=BQ，再根據三角形內角和定理得到AQ=AM，∠QAM=20°，進而得出∠ABN=60°，即△ABN是等邊三角形，而∠ANQ=$\frac{1}{2}$∠ANB=30°，最后根據P為△AQN的外心，得到∠APN=2∠QNA+2∠QAN=100°，進而得出△APN中，∠NAP=$\frac{1}{2}$（180°-100°）=40°，即可得到∠BAP=60°+40°=100°．

解答 解：如圖所示，過點A作AD⊥BP于D，延長AD至點N，使得AD=ND，
設ND交BC于M，連接BN，在BC上截取點Q，使得CA=CQ，連接AQ，NQ，PQ，延長CP交AQ于E，則AC=QC，∠ACP=∠BCP，
∴AE=QE，CE⊥AQ，
∴AP=QP，
∵△ACQ中，∠ACQ=20°，
∴∠CAE=80°，
∵∠ABQ=30°+10°=40°，∠AQC=80°，
∴∠BAQ=80°-40°=40°，
∴AQ=BQ，
∵Rt△BDM中，∠AMB=80°，
∴∠AQM=∠AMQ=80°，
∴AQ=AM，∠QAM=20°，
∴∠BAN=60°，
∵BP垂直平分AN，∠ABP=30°，
∴∠ABN=60°，即△ABN是等邊三角形，
∴NB=NA，
又∵QB=QA，
∴易得△BQN≌△AQN，
∴∠ANQ=$\frac{1}{2}$∠ANB=30°，
由BP垂直平分AN，可得AP=NP，
又∵AP=QP，
∴P為△AQN的外心，
∴∠APN=2∠QNA+2∠QAN=100°，
∴△APN中，∠NAP=$\frac{1}{2}$（180°-100°）=40°，
∴∠BAP=60°+40°=100°．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了線段垂直平分線的性質，三角形內角和定理，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質，圓的外心以及三角形外角性質的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造等邊三角形以及等腰三角形，依據等邊三角形的性質和等腰三角形的性質進行計算求解．