Question

12．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，腰長為6，則其底邊長是6$\sqrt{3}$或6．

Answer 1

分析 分①三角形是鈍角三角形時，根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得AD=$\frac{1}{2}$AB，再根據等腰三角形兩底角相等和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠ABC=30°，然后根據含30°角的直角三角形的性質解答，②三角形是銳角三角形時，判斷出△ABC是等邊三角形，再根據等邊三角形的性質解答．

解答 解：①三角形是鈍角三角形時，如圖1，
∵∠ABD=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×6=3，BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=3$\sqrt{3}$，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$∠BAD=$\frac{1}{2}$（90°-30°）=30°，
∴BC=2BD=6$\sqrt{3}$；
②三角形是銳角三角形時，如圖2，∵∠ABD=30°，
∴∠A=90°-30°=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴BC=AB=6，
綜上所述，其底邊長是6$\sqrt{3}$或6．
故答案為：6$\sqrt{3}$或6．

點評 本題考查了直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，等腰三角形的性質，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．