Question

11．如圖，以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點E，連接EO并延長交BC的延長線于點D，點F為BC的中點，連接EF．
（1）判斷EF與⊙O的位置關系并說明理由；
（2）若⊙O的半徑為2，∠EAC=60°，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）連接FO，由F為BC的中點，AO=CO，得到OF∥AB，由于AC是⊙O的直徑，得出CE⊥AE，根據OF∥AB，得出OF⊥CE，于是得到OF所在直線垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到結論．
（2）證出△AOE是等邊三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的性質即可得到結果．

解答 證明：（1）如圖1，連接FO，
∵F為BC的中點，AO=CO，
∴OF∥AB，
∵AC是⊙O的直徑，
∴CE⊥AE，
∵OF∥AB，
∴OF⊥CE，
∴OF所在直線垂直平分CE，
∴FC=FE，OE=OC，
∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，
∵∠ACB=90°，
即：∠0CE+∠FCE=90°，
∴∠0EC+∠FEC=90°，
即：∠FEO=90°，
∴FE為⊙O的切線；

（2）如圖2，∵⊙O的半徑為2，
∴AO=CO=EO=3，
∵∠EAC=60°，OA=OE，
∴∠EOA=60°，
∴∠COD=∠EOA=60°，
∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，
∴CD=2$\sqrt{3}$，
∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，
CD=2$\sqrt{3}$，AC=4，
∴AD=2$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了切線的判定和性質，三角形的中位線的性質，勾股定理，線段垂直平分線的性質，直角三角形的性質，熟練掌握定理是解題的關鍵．