Question

19．已知AB是⊙O的直徑，點P是直徑AB上任意一點，過點P作弦CD⊥AB，垂足為點P，過B點的直線與線段AB的延長線交于點F，且∠F=∠ABC．

（1）如圖1，求證：直線BF是⊙O的切線；
（2）如圖2，當點P與點O重合時，過點A作⊙O的切線交線段BC的延長線于點E，在其它條件不變的情況下，判斷四邊形AEBF是什么特殊的四邊形？證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）欲證明直線BF是⊙O的切線，只要證明∠ABF=90°．
（2）結論四邊形AEBF是平行四邊形，只要證明AE∥BF，AF∥BE即可．

解答 （1）證明：如圖1中，∵∠A=∠C，∠F=∠ABC，
∴∠ABF=∠CPB，
∵CD⊥AB，
∴∠ABF=∠CPB=90°，
∴直線BF是⊙O的切線．
（2）結論：四邊形AEBF是平行四邊形．
證明：如圖2中，連接AC、BD．
∵OA=OB，
∴OC=OD，
∴四邊形ACBD是平行四邊形
∴AD∥BC，
即AF∥BE，
又∵AE切⊙O于點A，
∴AE⊥AB，
同理BF⊥AB，
∴AE∥BF，
∴四邊形AEBF是平行四邊形．

點評 本題考查切線的判定和性質、平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，屬于中考常考題型．