Question

12．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，有下列結論：①△DFE是等腰直角三角形；②四邊形CEDF不可能為正方形；③四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發生變化；④點C、E、D、F四點在同一個圓上，且該圓的面積最小為4π．其中錯誤結論的個數是（　　）個．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①正確．連接CD．只要證明△ADE≌△CDF（SAS），即可解決問題．
②錯誤．當E、F分別為AC、BC中點時，四邊形CEDF為正方形．
③錯誤．四邊形CEDF的面積=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×4×4=4，為定值．
④錯誤．以EF為直徑的圓的面積的最小值=π•（ $\frac{1}{2}$•2 $\sqrt{2}$）²=2π．

解答 解：連接CD，如圖1，
∵∠C=90°，AC=BC=4，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∵D為AB的中點，
∴CD⊥AB，CD=AD=BD，
∴∠DCB=∠B=45°，
∴∠A=∠DCF，
在△ADE和△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}\\{∠A=∠DCF}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴ED=DF，∠CDF=∠ADE，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，即∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形，所以①正確；
當E、F分別為AC、BC中點時，如圖2，則AE=CE=CF=BF，DE=AE=CE，
∴CE=CF=DE=DF，
而∠ECF=90°，
∴四邊形CDFE是正方形，所以②錯誤；
∵△ADE≌△CDF，
∴S_△ADE=S_△CDF，
∴S_{四邊形CEDF}=S_△CDE+S_△CDF=S_△CDE+S_△ADE=S_△ADC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×4×4=4，所以③錯誤；
∵△CEF和△DEF都為直角三角形，
∴點C、D在以EF為直徑的圓上，即點C、E、D、F四點在同一個圓上，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$DE，
當DE⊥AC時，DE最短，此時DE=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴EF的最小值為2 $\sqrt{2}$，
∴以EF為直徑的圓的面積的最小值=π•（ $\frac{1}{2}$•2 $\sqrt{2}$）²=2π，所以④錯誤；
故選C．

點評 本題考查三角形的綜合題、等腰直角三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．