Question

1．如圖，已知直角梯形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，CD=2AB，過A、B、D三點的⊙O分別交BC、CD于E、M．
（1）求證：DM=CM；
（2）若CE=2，CM=$\sqrt{6}$，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）連接BD，BM，AM，EM，DE，由90度角所對的弦為直徑，得到BD為圓的直徑，再利用直徑所對的圓周角為直角，得到∠BMD為直角，利用三個角為直角的四邊形為矩形得到ABMD為矩形，利用矩形的對邊相等得到AB=DM，而DC=2AB，等量代換得到CD=2DM，可得出M為DC的中點，即DM=CM；
（2）由BM⊥CD，DM=CM，得到BD=BC，根據勾股定理得到DE=$\sqrt{D{C}^{2}-E{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，設BE=x，BD=BC=BE+EC=x+2，根據勾股定理列方程得到BD=6，在直角三角形AEM中，由AM與ME的長，利用勾股定理求出AE的長．

解答 解：（1）連接BD，BM，AM，EM，DE，
∵∠BAD=90°，
∴BD為圓的直徑，
∴∠BMD=90°，
∴∠BAD=∠CDA=∠BMD=90°，
∴四邊形ABMD矩形，
∴AB=DM，
又∵CD=2AB，
∴CD=2DM，即DM=MC；
（2）∵BM⊥CD，DM=CM，
∴BD=BC，
∵AM=BD，
∴AM=BC，
∵BD是直徑，
∴∠BED=90°，即∠DEC=90°，
又EC=2，DC=2CM=2$\sqrt{6}$，
根據勾股定理得：DE=$\sqrt{D{C}^{2}-E{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
設BE=x，BD=BC=BE+EC=x+2，
在Rt△BDE中，根據勾股定理得：BE²+DE²=BD²，即x²+20=（x+2）²，
解得：x=4，
∴BD=6，在Rt△AEM中，AM=6，EM=$\sqrt{6}$，
根據勾股定理得：AE=$\sqrt{A{M}^{2}-E{M}^{2}}$=$\sqrt{30}$．

點評 本題考查了圓周角定理，圓心角、弦及弧之間的關系，勾股定理，矩形的判定與性質，利用了方程的思想，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．