Question

13．探究題：在下列圖形中，已知AB∥CD，請(qǐng)你解答以下問(wèn)題：
（1）圖①中，∠A+∠C=180度，說(shuō)明理由．
（2）在A、C之間加一個(gè)折點(diǎn)O₁時(shí)，如圖②，則∠A+∠O₁+∠C=360度．
（3）在A、C之間加二個(gè)折點(diǎn)O₁、O₂時(shí)，如圖③，則∠A+∠O₁+∠O₂+∠C=540度．…
（4）在A、C之間加n個(gè)折點(diǎn)O₁、O₂、…O₃時(shí)，如圖m，你又有什么發(fā)現(xiàn)？請(qǐng)你用含n的代數(shù)式寫(xiě)出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可直接得到結(jié)論；
（2）過(guò)點(diǎn)O₁作AB的平行線，利用平行線的性質(zhì)，計(jì)算出∠A+∠O₁+∠C度數(shù)；
（3）過(guò)點(diǎn)O₁作AB的平行線，利用平行線的性質(zhì)，計(jì)算出∠A+∠O₁+∠O₂+∠C度數(shù)；
（4）通過(guò)前三個(gè)，找出規(guī)律．利用規(guī)律得到有n個(gè)折點(diǎn)的結(jié)論．

解答 解：（1）故答案為：180；理由：
如右圖所示：∵AB∥CD，
∴∠A+∠C=180°．（兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）
（2）過(guò)O₁作O₁E∥AB
∴∠A+∠AO₁E=180°，
∵AB∥CD
∴O₁E∥CD，
∴∠EO₁C+∠C=180°．
∴∠A+∠AO₁E+∠EO₁C+∠C=360°，
即∠A+∠AO₁C+∠C=360°；
故答案為：360
（3）過(guò)O₁、O₂作O₁E∥AB，O₂F∥AB
∵AB∥CD
∴AB∥O₁E∥O₂F∥CD
∴∠A+∠AO₁E=180°，
∠EO₁O₂+∠O₁O₂F=180°
∠FO₂C+∠C=180°
∴∠A+∠AO₁E+∠EO₁O₂+∠O₁O₂F+∠FO₂C+∠C=180°×3
即∠A+∠AO₁O₂+∠O₁O₂C+∠C=540°；
故答案為：540
（4）由當(dāng)平行線AB與CD間沒(méi)有點(diǎn)的時(shí)候，∠A+∠C=180°，
當(dāng)A、C之間加一個(gè)折點(diǎn)O₁時(shí)，∠A+∠O₁+∠C=2×180°；
當(dāng)A、C之間加二個(gè)折點(diǎn)O₁、O₂時(shí)，則∠A+∠O₁+∠O₂+∠C=3×180°；
當(dāng)A、C之間加三個(gè)折點(diǎn)O₁、O₂、O₃時(shí)，
則∠A+∠O₁+∠O₂+∠O₃+∠C=4×180°；
在A、C之間加n個(gè)折點(diǎn)O₁、O₂、…O_n時(shí)，
則∠A+∠O₁+∠O₂+∠O₃+…∠O_n+∠C=（n+1）×180°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)．過(guò)折點(diǎn)作平行線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．另也可以作如圖的輔助線，利用平行線的性質(zhì)和周角．