Question

4．已知點P（1，m）、Q（n，1）在反比例函數y=$\frac{5}{x}$的圖象上，直線y=kx+b經過點P、Q，且與x軸、y軸的交點分別為A、B兩點．
（1）求 k、b的值；
（2）O為坐標原點，C在直線y=kx+b上且AB=AC，點D在坐標平面上，順次聯結點O、B、C、D的四邊形OBCD滿足：BC∥OD，BO=CD，求滿足條件的D點坐標．

Answer 1

分析 （1）把P、Q的坐標代入反比例函數解析式可求得m、n的值，再把P、Q坐標代入直線解析式可求得k、b的值；
（2）結合（1）可先求得A、B坐標，可求得C點坐標，再由條件可求得直線OD的解析式，由BO=CD可求得D點坐標．

解答 解：
（1）把P（1，m）代入y=$\frac{5}{x}$，得 m=5，
∴P（1，5），
把Q（n，1）代入y=$\frac{5}{x}$，得 n=5，
∴Q（5，1），
P（1，5）、Q（5，1）代入y=kx+b得 $\left\{{\begin{array}{l}{k+b=5}\\{5k+b=1}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}}\right.$，
即k=-1，b=6；
（2）由（1）知 y=-x+6，
∴A（6，0）B（0，6）
∵C點在直線AB上，
∴設C（x，-x+6），
由AB=AC得$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{（x-6）^{2}+（-x+6）^{2}}$，
解得x=12或x=0（不合題意，舍去），
∴C（12，-6），
∵直線OD∥BC 且過原點，
∴直線OD解析式為y=-x，
∴可設D（a，-a），
由OB=CD 得6=$\sqrt{（a-12）^{2}+（-a+6）^{2}}$，
解得a=12或a=6，
∴滿足條件的點D坐標是（12，-12）或（6，-6）．

點評 本題主要考查函數圖象的交點，掌握函數圖象的交點坐標滿足每一個函數解析式是解題的關鍵，在（2）中注意直線PD的位置．