Question

14．在平面直角坐標系中，已知反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象經過點A，點O是坐標原點，OA=2且OA與x軸的夾角是60°．
（1）試確定此反比例函數的解析式；
（2）將線段OA繞O點順時針旋轉30°得到線段OB，判斷點B是否在此反比例函數的圖象上，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）作AC⊥x軸于點C，在Rt△AOC中，解直角三角形求得A點坐標為（1，$\sqrt{3}$），把A（1，$\sqrt{3}$）分別代入代入y=$\frac{k}{x}$，根據待定系數法即可求得；
（2）作BD⊥x軸于點D，在Rt△BOD中，解直角三角形求得B點坐標為（$\sqrt{3}$，1），把x=$\sqrt{3}$代入代入y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$，即可判斷．

解答 解：（1）作AC⊥x軸于點C，如圖，
在Rt△AOC中，
∵OA=2，∠AOC=60°，
∴∠OAC=30°，
∴OC=$\frac{1}{2}$OA=1，AC=$\sqrt{3}$OC=$\sqrt{3}$，
∴A點坐標為（1，$\sqrt{3}$），
把A（1，$\sqrt{3}$）代入y=$\frac{k}{x}$，
得k=1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴反比例函數的解析式為y=$\frac{{\sqrt{3}}}{x}$；
（2）點B在此反比例函數的圖象上，
理由如下：過點B作x軸的垂線交x軸于點D，
∵線段OA繞O點順時針旋轉30°得到線段OB，
∴∠AOB=30°，OB=OA=2，∴∠BOD=30°，
在Rt△BOD中，BD=$\frac{1}{2}$OB=1，OD=$\sqrt{3}$BD=$\sqrt{3}$，
∴B點坐標為（$\sqrt{3}$，1），
∵當x=$\sqrt{3}$時，y=$\frac{{\sqrt{3}}}{x}$=1，
∴點B（$\sqrt{3}$，1）在反比例函數y=$\frac{{\sqrt{3}}}{x}$的圖象上．

點評 本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，解直角三角形，也考查了待定系數法求函數解析式．