Question

12．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線與x軸交于點A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點C（0，3），拋物線的頂點為D，對稱軸與x軸交于點E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P在拋物線上，點Q在拋物線的對稱軸上，是否存在點P使得△PDQ是等邊三角形？若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）待定系數法求解可得；
（2）根據解析式求得拋物線對稱軸及頂點D的坐標（1，4），設點Q坐標為（1，m），根據等邊三角形的性質得出點P在DQ中垂線y=$\frac{4+m}{2}$上，即可得點P的縱坐標，據此根據解析式表示出點P的橫坐標x=1±$\sqrt{\frac{4-m}{2}}$，根據等邊三角形的性質知∠DPF=30°，由tan∠DPF=$\frac{DF}{PF}$可得$\frac{\frac{4-m}{2}}{\sqrt{\frac{4-m}{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解之即可求得m的值，繼而可得點P的坐標．

解答 解：（1）∵拋物線與x軸交于點A（-1，0），B（3，0），
∴可設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
將點C（0，3）代入得：-3a=3，
解得：a=-1，
∴拋物線解析式為y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3；

（2）存在，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴拋物線的對稱軸為x=1，頂點D的坐標為（1，4），
設點Q坐標為（1，m），

∵△PDQ是等邊三角形，且底邊DQ⊥x軸，
∴DQ的中垂線PF∥x軸，
∴點P的縱坐標y=$\frac{4+m}{2}$，
∵點P在函數y=-（x-1）²+4的圖象上，
∴-（x-1）²+4=$\frac{4+m}{2}$，
解得：x=1±$\sqrt{\frac{4-m}{2}}$，
∴PF=1+$\sqrt{\frac{4-m}{2}}$-1=$\sqrt{\frac{4-m}{2}}$，DF=$\frac{4-m}{2}$，
∵△PDQ是等邊三角形，
∴$∠DPF=\frac{1}{2}∠DPQ=30°$，
∴由tan∠DPF=$\frac{DF}{PF}$可得$\frac{\frac{4-m}{2}}{\sqrt{\frac{4-m}{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：m=$\frac{10}{3}$，
當m=$\frac{10}{3}$時，y=$\frac{m+4}{2}$=$\frac{11}{3}$，x=1±$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{3±\sqrt{3}}{3}$，
∴點P的坐標為（$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$，$\frac{11}{3}$）或（$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，$\frac{11}{3}$）．

點評 本題主要考查二次函數的綜合問題，熟練掌握待定系數法求函數解析式、等邊三角形的性質、直角三角形的應用是解題的關鍵．