Question

17．已知圓內接四邊形ABCD的對角線AC、BD交于N點，M在BD上，且∠DAN=∠BAM，∠DCN=∠BCM．求證：
（1）M為BD的中點；
（2）AN•CM=AM•CN．

Answer 1

分析 （1）由圓周角定理可知∠DAN=∠DBC、∠DCN=∠DBA，結合∠DAN=∠BAM、∠DCN=∠BCM即可證出△BAM∽△CBM，根據相似三角形的性質即可得出BM²=AM•CM①，同理可得出DM²=AM•CM②，結合①②即可得出BM=DM，從而證出M為BD的中點；
（2）延長AM交圓于點P，連接CP，由圓周角定理結合∠DAN=∠BAM、∠DCN=∠BCM即可得出∠BCP=∠DBC，依據“內錯角相等，兩直線平行”即可得出PC∥BD，由平行線的性質即可得出$\frac{AN}{NC}=\frac{AM}{PM}$③，再通過角的轉化即可得出∠APC=∠MCP，進而得出PM=CM④，結合③④即可得出$\frac{AN}{CN}=\frac{AM}{CM}$，從而證出AN•CM=AM•CN．

解答 證明：（1）根據同弧所對的圓周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA．
又∵∠DAN=∠BAM，∠DCN=∠BCM，
∴∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM，
∴△BAM∽△CBM，
∴$\frac{BM}{CM}=\frac{AM}{BM}$，即BM²=AM•CM．①
又∵∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB，∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM，
∴△DAM∽△CDM，
∴$\frac{DM}{CM}=\frac{AM}{DM}$，即DM²=AM•CM．②
由式①、②得：BM=DM，
∴M為BD的中點．
（2）解：如圖，延長AM交圓于點P，連接CP．
∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC，
∴PC∥BD，
∴$\frac{AN}{NC}=\frac{AM}{PM}$．③
又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB，
∴∠ABC=∠MCP．
∵∠ABC=∠APC，
∴∠APC=∠MCP，
∴PM=CM．④
由式③、④得$\frac{AN}{CN}=\frac{AM}{CM}$，
∴AN•CM=AM•CN．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、等腰三角形的性質以及圓周角定理，解題的關鍵是：（1）根據相似三角形的性質找出$\frac{BM}{CM}=\frac{AM}{BM}$、$\frac{DM}{CM}=\frac{AM}{DM}$；（2）根據平行線以及等腰三角形的性質找出$\frac{AN}{NC}=\frac{AM}{PM}$和PM=CM．