Question

7．（1）如圖1、2，試研究其中∠1、∠2與∠3、∠4之間的數量關系；
（2）用你發現的結論解決下列問題：
如圖3，AE、DE分別是四邊形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分線，∠B+∠C=240°，求∠E的度數．

Answer 1

分析 （1）根據四邊形的內角和等于360°用∠5+∠6表示出∠3+∠4，再根據平角的定義用∠5+∠6表示出∠1+∠2，即可得解；
（2）從外角的定義考慮解答；
（3）根據（1）的結論求出∠MDA+∠NAD，再根據角平分線的定義求出∠ADE+∠DAE，然后利用三角形的內角和定理列式進行計算即可得解．

解答 （1）解：∵∠3、∠4、∠5、∠6是四邊形的四個內角，
∴∠3+∠4+∠5+∠6=360°，
∴∠3+∠4=360°-（∠5+∠6），
∵∠1+∠5=180°，∠2+∠6=180°，
∴∠1+∠2=360°-（∠5+∠6），
∴∠1+∠2=∠3+∠4；

（2）答：四邊形的任意兩個外角的和等于與它們不相鄰的兩個內角的和；

（3）解：∵∠B+∠C=240°，
∴∠MDA+∠NAD=240°，
∵AE、DE分別是∠NAD、∠MDA的平分線，
∴∠ADE=$\frac{1}{2}$∠MDA，∠DAE=$\frac{1}{2}$∠NAD，
∴∠ADE+∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠MDA+∠NAD）=$\frac{1}{2}$×240°=120°，
∴∠E=180°-（∠ADE+∠DAE）=180°-120°=60°．

點評 本題考查了多邊形的內角和公式，平角的定義，角平分線的定義，整體思想的利用是解題的關鍵．