Question

2．已知二次函數y=x²-x-2的圖象和x軸交于點A，B，與y軸交于點C，過直線BC的下拋物線上與動點P作PQ∥AC交線段BC于點Q，再過P點作PE⊥x軸于點E，交BC于點D；
（1）求直線AC的解析式；
（2）求△PQD周長的最大值；
（3）當△PQD的周長最大時，在y軸上有兩個動點M，N（M在N的上方），且MN=1，求PN+MN+AM的最小值．

Answer 1

分析 （1）先求出A、C兩點坐標，利用待定系數法即可解決問題．
（2）首先證明△PDQ是等腰直角三角形，推出PD最長時，△PDQ的最長最大，設P（m，m²-m-2），則D（m，m-2），可得PD=m-2-（m²-m-2）=-m²+2m=-（m-1）²+1，根據二次函數的性質即可解決問題．
（3）如圖2中，作PP′∥y軸，使得PP′=MN=1，連接AP′交y軸于M，此時PN+NM+AM的值最小．求出直線AP′的解析式，求出點M、N的坐標即可解決問題．

解答 解：（1）對于二次函數y=x²-x-2，令x=0得y=-2，令y=0，得x²-x-2=0，解得x=-1或2，
∴A（-1，0），B（2，0），C（0，-2），
設直線AC的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-2x-2．

（2）∵B（2，0），C（0，-2），
∴直線BC的解析式為y=x-2，OB=OC=2，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∵PE⊥x軸，
∴∠DEB=90°，
∴∠EDB=∠QDP=∠EBD=45°，
∵PQ⊥BC，
∴△PDQ是等腰直角三角形，
∴PD最長時，△PDQ的最長最大，設P（m，m²-m-2），則D（m，m-2），
∴PD=m-2-（m²-m-2）=-m²+2m=-（m-1）²+1，
∵-1＜0，
∴m=1時，PD的值最大，PD最大值為1，此時DQ=PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△PDQ的最長的最大值為1+$\sqrt{2}$．

（3）如圖2中，作PP′∥y軸，使得PP′=MN=1，連接AP′交y軸于M，此時PN+NM+AM的值最小．

由（2）可知P（1，-2），
∴P′（1，-1），∵A（-1，0），
∴直線AP′的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$，
∴M（0，-$\frac{1}{2}$），N（0，-$\frac{3}{2}$），
∴AM=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，PN=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴AM+MN+PN的最小值為$\sqrt{5}$+1．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用、兩點之間線段最短、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會構建二次函數解決最值問題，學會利用兩點之間線段最短解決最短問題，屬于中考壓軸題．