Question

12．如圖，點O為等邊三角形ABC內一點，連結OA、OB、OC，以OB為一邊作∠OBM=60°，且BO=BM，連結CM、OM．
（1）判斷AO與CM的大小關系并證明．
（2）若OA=8，OC=6，OB=10，判斷△OMC的形狀并證明．

Answer 1

分析 （1）證明∴△OBM是等邊三角形，得出OM=OB，∠ABC=∠OBC，由SAS證明△AOB≌△CMB，即可得出結論；
（2）由勾股定理的逆定理即可得出結論．

解答 解：（1）AO=CM；理由如下：
∵∠OBM=60°，OB=BM，
∴△OBM是等邊三角形
∴OM=OB=10，
∠ABC=∠OBC=60°
∴∠ABO=∠CBM，
在△AOB和△CMB中，$\left\{\begin{array}{l}{OB=OM}&{\;}\\{∠ABO=∠CBM}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\end{array}\right.$
∴△AOB≌△CMB（SAS），
∴OA=MC；
（2）△OMC是直角三角形；理由如下：
在△OMC中，OM²=100，OC²+CM²=6²+8²=100，
∴OM²=OC²+CM²，
∴△OMC是直角三角形

點評 本題考查了等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理的逆定理；證明三角形全等是解決問題的關鍵．