Question

2．（1）等邊△ABC外一點D，且∠BDC=120°，試探索∠BDA與∠CDA的數量關系；
（2）將等邊△ABC改為等腰直角△ABC，∠BAC=90°，結合（1）所給圖形試修改（1）中的條件，使得（1）的結論依然成立，補充圖形并證明．
（3）將等邊△ABC改為一般的等腰△ABC，且∠BAC=α，則如何修改（1）中的條件，使得（1）的結綸依然成立，補充圖形并證明．

Answer 1

分析 （1）過A作AM⊥DB于M，AN⊥CD于N，證△AMB≌△ANC，推出AM=AN，根據角平分線性質得出即可；
（2）當∠BDC=90°時，（1）的結論依然成立，如圖2，過A作AM⊥DB于M，AN⊥CD于N，則∠M=∠ANC=90°，推出△AMB≌△ANC（AAS），根據全等三角形的性質得到AM=AN，根據角平分線的性質即可得到結論；
（3）當∠BDC=180°-α時，（1）的結論依然成立，如圖3，過A作AM⊥DB于M，AN⊥CD于N，則∠M=∠ANC=90°，推出△AMB≌△ANC（AAS），根據全等三角形的性質得到AM=AN，根據角平分線的性質即可得到結論．

解答 解：（1）∠BDA=∠CDA，
理由是：如圖1，過A作AM⊥DB于M，AN⊥CD于N，
則∠M=∠ANC=90°，
∵∠BAC=60°，∠BDC=120°，
∴∠ABD+∠ACD=360°-120°-60°=180°，
∵∠ABD+∠ABM=180°，
∴∠ACN=∠ABM，
在△AMB和△ANC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠ACN}\\{∠M=∠ANC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△ANC（AAS），
∴AM=AN，
∵AM⊥DB，AN⊥CD，
∴∠BDA=∠CDA；

（2）當∠BDC=90°時，（1）的結論依然成立，
如圖2，過A作AM⊥DB于M，AN⊥CD于N，
則∠M=∠ANC=90°，
∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，
∴∠ABD+∠ACD=360°-90°-90°=180°，
∵∠ABD+∠ABM=180°，
∴∠ACN=∠ABM，
在△AMB和△ANC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠ACN}\\{∠M=∠ANC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△ANC（AAS），
∴AM=AN，
∵AM⊥DB，AN⊥CD，
∴∠BDA=∠CDA；

（3）當∠BDC=180°-α時，（1）的結論依然成立，
如圖3，過A作AM⊥DB于M，AN⊥CD于N，
則∠M=∠ANC=90°，
∵∠BAC=α°，∠BDC=180°-α，
∴∠ABD+∠ACD=180°，
∵∠ABD+∠ABM=180°，
∴∠ACN=∠ABM，
在△AMB和△ANC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=∠ACN}\\{∠M=∠ANC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AMB≌△ANC（AAS），
∴AM=AN，
∵AM⊥DB，AN⊥CD，
∴∠BDA=∠CDA．

點評 本題考查了全等三角形的性質和判定，角平分線性質，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．