Question

14．如圖，已知⊙O的弦AB垂直于直徑CD，垂足為F，點E在AB上，且EA=EC，延長EC到點P，使PE=PB，連接AC，有下列四個結(jié)論：
①$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$；②OF=CF；③AC²=AE•AB；④PB是⊙O的切線．
其中一定成立的是①③④（只填結(jié)論的序號）

Answer 1

分析 ①正確．根據(jù)垂徑定理即可判斷．
②錯誤．根據(jù)已知條件不能推出CF=OF．
③正確．只要證明△CAE∽△BAC，推出$\frac{AC}{AE}$=$\frac{AB}{AC}$，即可證明．
④正確．只要證明∠OBP=90°即可．

解答 解：連接BC，OB，OA，
∵AB⊥CD，CD是圓的直徑，
∴BC=AC，弧AC=弧BC，故①正確；
∴∠CAB=∠CBA，
∵CE=AE，
∴∠CAB=∠ACE=∠CBA，
∵∠CAB=∠CAB，
∴△CAE∽△BAC，
∴$\frac{AC}{AE}$=$\frac{AB}{AC}$，
∴AC²=AE•AB，故③正確；
∵PB=PE，
∴∠PBA=∠PEB，
∵∠PEB=∠CAB+∠ECA=2∠CAB=2∠CBF，
∴∠PBC=∠CBE，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC+∠CBP=∠OCB+∠CBA=90°，
即OB⊥PB，
∵OB是圓O的半徑，
∴PB是圓O的切線，故④正確；
根據(jù)已知條件不能推出CF=OF，故②錯誤；
故答案為：①③④．

點評 本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，垂徑定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，切線的判定等知識點，此題綜合性比較強，有一定的難度，對學(xué)生有較高的要求，但題型較好．