Question

10．在等邊三角形ABC中，點D在BC上，且BD：DC=1：4，連接DA，作∠DAE，滿足∠DAE=30°，則tan∠BAE的值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 在△ABC外作∠BAF=30°，∵∠DAE=30°，得到∠BAF=∠DAE，過D作DF⊥AF于F，DG⊥AC于G，過B作BH⊥AC于H，設△ABC的邊長為a，求得BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，推出四邊形AFDG是矩形，根據矩形的性質得到AF=DG，DF=AG，根據平行線分線段成比例定理得到$\frac{HG}{CH}=\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{5}$，得到AG=$\frac{a}{2}$+$\frac{a}{10}$=$\frac{3}{5}$a=DF，根據三角函數的定義即刻得到結論．

解答 解：在△ABC外作∠BAF=30°，
∵∠DAE=30°，
∴∠BAF=∠DAE，過D作DF⊥AF于F，DG⊥AC于G，過B作BH⊥AC于H，
設△ABC的邊長為a，
則BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∵BD：DC=1：4，
∴$\frac{DG}{BH}$=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{4}{5}$，
∴DG=$\frac{4}{5}$BH=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$a，
∵∠F=∠FAG=∠AGD=90°，
∴四邊形AFDG是矩形，
∴AF=DG，DF=AG，
∴AF=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$a，
∵DG∥BH，
∴$\frac{HG}{CH}=\frac{BD}{BC}$=$\frac{1}{5}$，
∴HG=$\frac{1}{5}$CH=$\frac{a}{10}$，
∴AG=$\frac{a}{2}$+$\frac{a}{10}$=$\frac{3}{5}$a=DF，
∴tan∠BAE=tan∠DAF=$\frac{\frac{3}{5}a}{\frac{2\sqrt{3}}{5}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了平行線分線段成比例定理，矩形的判定和性質，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關鍵．