Question

20．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，D是外角與內角平分線交點，E是外角平分線交點，若∠BOC=120°，則∠D=30°；∠E=60°．

Answer 1

分析 根據角平分線的定義、三角形內角和定理進行計算即可．

解答 解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴2∠OCB+2∠OBC+∠A=180°，
∴∠OCB+∠OBC=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∵∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°，
∴90°-$\frac{1}{2}$∠A+∠BOC=180°，
∴∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
而∠BOC=120°，
∴∠A=60°，
∵∠DCF=∠D+∠DBC，∠ACF=∠ABC+∠A，BD平分∠ABC，DC平分∠ACF，
∴∠ACF=2∠DCF，∠ABC=2∠DBC，
∴2∠D+2∠DBC=∠ABC+∠A，
∴2∠D=∠A，即∠D=$\frac{1}{2}∠$A．
∵∠A=60°，
∴∠D=30°，
∵∠ABC，∠ACB的平分線交于點O，E是外角平分線交點，
∴∠ABE=∠ACE=90°，
∴∠E=180°-120°=60°，
故答案為：30°；60°．

點評 本題考查的是三角形的外角的性質，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．