Question

3．閱讀理解：
①3²+4²＞2×3×4
②3²+3²=2×3×3；
③（-2）²+4²＞2×（-2）×4；
④（-5）²+（-5）²=2×（-5）×5
（1）觀察以上各式，你發(fā)現(xiàn)它們有什么規(guī)律嗎？請(qǐng)用含有a、b的式子表示上述規(guī)律；
（2）運(yùn)用你所學(xué)的知識(shí)證明你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；
（3）已知a+b=4，求ab的最大值．

Answer 1

分析 （1）觀察各式，即可得出規(guī)律：如果a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則有a²+b²≥2ab；
（2）根據(jù)完全平方的計(jì)算結(jié)果是非負(fù)數(shù)證明即可；
（3）根據(jù)規(guī)律可得ab≤$\frac{1}{2}$（a²+b²）．

解答 解：（1）規(guī)律是：如果a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則有a²+b²≥2ab；

（2）∵（a-b）²≥0，
∴a²-2ab+b²≥0，
∴a²+b²≥2ab；

（3）∵a²+b²≥2ab，
∴ab≤$\frac{1}{2}$（a²+b²）．
∵a+b=4，
∴b=4-a，
∴ab≤$\frac{1}{2}$[a²+（4-a）²]=a²-4a+8=（a-2）²+4≤4，
∴ab的最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了實(shí)數(shù)的大小的比較以及數(shù)字的變化規(guī)律，通過閱讀題目，發(fā)現(xiàn)規(guī)律實(shí)質(zhì)上是完全平方公式的變形：因?yàn)椋╝-b）²≥0，所以a²+b²≥2ab．