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12.已知:如圖,已知CD∥EF,∠C+∠F=∠ABC,若∠F=a°,a為關于x的一元一次方程$\frac{x-12}{3}$=-$\frac{x-15}{6}$+16的解
(1)求∠F的度數.
(2)求證:AB∥GF.
(3)若點P為直線EF上的動點(點P不在直線AB,FG上),連接BP,請你探究∠ABP與∠BPF之間的數量關系,要求畫出圖形并直接寫出你的結論.

分析 (1)分別依據解方程的基本步驟解一元一次方程即可得x的值,即∠F的度數;
(2)如圖1,延長AB交CD于點M,延長FE交AM于點N,由CD∥EF知∠1=∠2,根據∠ABC=∠C+∠1且∠C+∠F=∠ABC得∠2=∠F,即可得證;
(3)分以下三種情況求解可得:①如圖2,當點P在EF延長線上時;②如圖3,延長AB交直線EF于點H,當點P在FH上時;③如圖4,當點P在FH的延長線上時.

解答 解:(1)$\frac{x-12}{3}$=-$\frac{x-15}{6}$+16,
2(x-12)=x-15+96
2x-24=-x+15+96
x=4,
即∠F=45°;

(2)如圖1,延長AB交CD于點M,延長FE交AM于點N,

∵CD∥EF,
∴∠1=∠2,
∵∠ABC=∠C+∠1,
∴∠ABC=∠C+∠2,
又∵∠C+∠F=∠ABC,
∴∠2=∠F,
∴AB∥GF;

(3)①如圖2,當點P在EF延長線上時,

∵∠EFQ=45°,
∴∠PFQ=135°,
∵AB∥GF,
∴∠ABP=∠GQF=∠BPF+∠PFQ,
即∠ABP=∠BPF+135°;
②如圖3,延長AB交直線EF于點H,當點P在FH上時,

過點P作PQ∥FG,
∵∠EFG=45°,
∴∠FEQ=180°-∠EFG=135°,
則∠BPQ=∠BPF-∠FEQ=∠BPF-135°,
又∵AB∥FG,
∴AB∥PQ,
則∠ABP=180°-∠BPQ=180°-(∠BPF-135°),
即∠ABP=315°-∠BPF;
③如圖4,當點P在FH的延長線上時,

∵AB∥FG,且∠EFG=45°,
∴∠PHB=∠EFG=45°,
∵∠ABP=∠PHB+∠BPF,即∠ABP=45°+∠BPF,
綜上,∠ABP=∠BPF+135°或∠ABP=315°-∠BPF或∠ABP=45°+∠BPF.

點評 本題主要考查平行線的判定與性質、三角形外角的性質,熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵.

練習冊系列答案
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