Question

6．已知拋物線y=ax²+bx+c（a＜b＜0）與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn)，現(xiàn)有以下結(jié)論：
①c＜0；②該拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；③關(guān)于x的方程ax²+bx+c+2=0有實(shí)數(shù)根；④對(duì)于自變量x的任意一個(gè)取值，都有$\frac{a}{b}$x²+x≥-$\frac{b}{4a}$，其中正確的為（　　）

• A． ①②
• B． ①②④
• C． ①②③
• D． ①②③④

Answer 1

分析 從拋物線與x軸最多一個(gè)交點(diǎn)及a＜b＜0，可以推斷拋物線有最大值為0，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，并得到b²-4ac≤0，從而得到①②為正確，③錯(cuò)誤；利用函數(shù)y=函數(shù)y=$\frac{a}{b}$x²+x=$\frac{a}{b}$（x²+$\frac{b}{a}$x）=$\frac{a}{b}$（x+$\frac{b}{2a}$）²-$\frac{b}{4a}$，根據(jù)函數(shù)的最值問題即可解決．④正確．

解答 解：∵a＜b＜0
∴-$\frac{b}{2a}$＜0，拋物線有最大值為0，
∴c＜0；該拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；
所以①正確；②正確；
∵拋物線與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn)，
∴b²-4ac≤0，
∴關(guān)于x的方程ax²+bx+c+2=0中，△=b²-4a（c+2）=b²-4ac-8a，
∵a＜0，
∴-8a＞0，
當(dāng)|b²-4ac|≥|8a|，則關(guān)于x的方程ax²+bx+c+2=0有實(shí)數(shù)根，
當(dāng)|b²-4ac|＜|8a|，則關(guān)于x的方程ax²+bx+c+2=0無實(shí)數(shù)根，
∴關(guān)于x的方程ax²+bx+c+2=0的根的情況不確定；
所以③錯(cuò)誤；
∵函數(shù)y=$\frac{a}{b}$x²+x=$\frac{a}{b}$（x²+$\frac{b}{a}$x）=$\frac{a}{b}$（x+$\frac{b}{2a}$）²-$\frac{b}{4a}$，
∵$\frac{a}{b}$＞0，
∴函數(shù)y有最小值-$\frac{b}{4a}$，
∴$\frac{a}{b}$x²+x≥-$\frac{b}{4a}$．所以④正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的解析式與圖象的關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是要明確a的符號(hào)決定了拋物線開口方向；a、b的符號(hào)決定對(duì)稱軸的位置；拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，決定了b²-4ac的符號(hào)．