Question

6．將邊長相等的正方形、正六邊形的一邊重合丙疊在一起，過正六邊形的頂點B作正方形的邊AC的垂線，垂足為點D，則tan∠ABD=2-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由正方形和正六邊形的性質得出AC=BC，∠ACB=30°，由等腰三角形的性質得出∠CAB=∠CBA=75°，由直角三角形的性質得出∠ABD=15°，作∠BAE=∠ABD=15°，則AE=BE，由三角形的外角性質得出∠AED=30°，由含30°角的直角三角形的性質得出AE=2AD，設AD=x，則AE=BE=2x，DE=$\sqrt{3}$x，得出BD=（2+$\sqrt{3}$）x，即可得出結果．

解答 解：∵邊長相等的正方形、正六邊形的一邊重合疊在一起，
∴AC=BC，∠ACB=120°-90°=30°，
∴∠CAB=∠CBA=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD=90°-75°=15°，
作∠BAE=∠ABD=15°，如圖所示：
則AE=BE，∠AED=15°+15°=30°，
∴AE=2AD，
設AD=x，則AE=BE=2x，DE=$\sqrt{3}$x，
∴BD=（2+$\sqrt{3}$）x，
∴tan∠ABD=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{x}{（2+\sqrt{3}）x}$=2-$\sqrt{3}$；
故答案為：2-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正多邊形和圓、正方形的性質、正六邊形的性質、等腰三角形的判定與性質、含30°角的直角三角形的性質、勾股定理、三角函數等知識；本題綜合性強，有一定難度．