Question

如圖，四邊形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF與BC交于點G．

（1）求證：AE=CF；

（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大�。�

 

Answer 1

（1）AE=CF （2）∠EGC=80°

【解析】

試題分析：（1)要證AE=CF，若我們能夠證明其所在的三角形全等即可。AE位于

△AEB中，CF位于△CFB中，因為四邊形ABCD是正方形，則AB=BC，因為

BE⊥BF，則∠ABC=∠EBF=90°,都減去∠EBC，故∠ABE=∠CBF，又因為BE=BF，故可以

由SAS定理得到兩個三角形全等。故AE=CF。

（2）由三角形的外角等于和他不相鄰的兩個內角之和，則∠EGC=∠EBG+∠BEF，由BE⊥BF，

∠FBE=90°，BE=BF，則∠BEF=∠EFB=45°，而∠EBG=90°－∠ABE=90°-55°=35°，故可求出∠EGC=80°。

試題解析：

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，AB=BC， 1分

∵BE⊥BF，

∴∠FBE=90°，

∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°，

∴∠ABE=∠CBF， 2分

在△AEB和△CFB中，

∴△AEB≌△CFB（SAS）， 4分

∴AE=CF． ．5分

（2）【解析】
∵BE⊥BF，

∴∠FBE=90°，

又∵BE=BF，

∴∠BEF=∠EFB=45°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，

又∵∠ABE=55°，

∴∠EBG=90°-55°=35°， 7分

∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80° 9分

考點：1．三角形全等的判定定理 2．正方形的性質 3．角形的外角等于和他不相鄰的兩個內角之和