Question

10．如圖，AB是⊙O直徑，直徑AB⊥弦CD于點E，四邊形ADCF是平行四邊形，CD=4$\sqrt{3}$，BE=2．
（1）求⊙O直徑和弦AD的長；
（2）求證：FC是⊙O切線．

Answer 1

分析 （1）設(shè)⊙O的半徑為r，連接OC，則OC=r，OE=r-2，根據(jù)垂徑定理得到CE=$\frac{1}{2}$CD=2$\sqrt{3}$，然后根據(jù)勾股定理得到r²=（r-2）²+（2$\sqrt{3}$）²，求得r=4，從而求得AE=6，在Rt△AED中，根據(jù)勾股定理即可求得AD；
（2）連結(jié)OF，由四邊形ABCD是平行四邊形得到AF∥DC，則AB⊥AF，即：∠FAO=90°，然后證得平行四邊形ADCF是菱形，得出FC=AF，證得△FCO≌△FAO，得出根據(jù)切線的判定得到∠FCO=∠FAO=90°，即可證得FC為⊙O的切線．

解答 解：（1）設(shè)⊙O的半徑為r，連接OC，則OC=r，OE=r-2
∵直徑AB⊥弦CD
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
在Rt△OCE中：OC²=CE²+OE² 即：r²=（r-2）²+（2$\sqrt{3}$）²，
解得：r=4，
∴AE=2×4-2=6，
在Rt△AED中：AD=$\sqrt{E{D^2}+A{E^2}}$=$\sqrt{{{（2\sqrt{3}）}^2}+{6^2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴⊙O直徑為8，弦AD長為4$\sqrt{3}$．
（2）連結(jié)OF，
∵平行四邊形ADCF中AF∥CD
又∵AB⊥CD，
∴AB⊥AF，即：∠FAO=90°，
由（1）可知AD=CD=4$\sqrt{3}$，
∴平行四邊形ADCF是菱形，
∴FC=AF，
在△FCO和△FAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{OF=OF}\\{FC=AF}\end{array}\right.$
∴△FCO≌△FAO（SSS），
∴∠FCO=∠FAO=90°即：OC⊥FC
∴FC是⊙O切線．

點評 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、平行線四邊形的性質(zhì)和菱形的判定和性質(zhì)．