Question

16．已知某二次函數的圖象與x軸分別相交于點A（-3，0）和點B（1，0），與y軸相交于C（0，-3m）（m＞0），頂點為點D．
（1）求該二次函數的解析式（系數用含m的代數式表示）；
（2）如圖①，當m=2時，點P為第三象限內拋物線上的一個動點，設△APC的面積為S，試求出S與點P的橫坐標x之間的函數關系式及S的最大值；
（3）如圖②，當m取何值時，以A、D、C三點為頂點的三角形與△OBC相似？

Answer 1

分析 （1）因為二次函數的圖象與x軸分別相交于點A（-3，0）和點B（1，0），所以可以設該二次函數的解析式為y=a（x+3）（x-1），把C（0，-3m）代入，求出a即可．
（2）如圖1中，過點P作PE⊥x軸于點E，交AC于點F，求出直線AC的解析式，則點P的坐標為（x，2x²+4x-6），點E的坐標為（x，0），點F的坐標為（x，-2x-6），根據S=$\frac{1}{2}$×3×（PE-PF）=$\frac{3}{2}$[（-2x-6）-（2x²+4x-6）]=-3（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{4}$，利用二次函數的性質即可解決問題．
（3）如圖2中，由題意AC²=（-3-0）²+（3m）²=9+9m²，AD²=（-3+1）²+（4m）²=4+16m²，CD²=（1）²+（-3m+4m）²=1+m²，因為△OBC是直角三角形，所以欲使得以A、D、C三點為頂點的三角形與△OBC相似，所以△ACD必須是直角三角形，利用勾股定理分兩種情形列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）∵二次函數的圖象與x軸分別相交于點A（-3，0）和點B（1，0），
∴設該二次函數的解析式為y=a（x+3）（x-1），
∵該二次函數與y軸相交于C（0，-3m），
∴-3a=-3m，
∴a=m，
∴設該二次函數的解析式為y=m（x+3）（x-1）=mx²+2mx-3m．

（2）如圖1中，過點P作PE⊥x軸于點E，交AC于點F，

當m=2時，點C的坐標為（0，-6），該二次函數的解析式為y=2x²+4x-6，
∵點A（-3，0），點C的坐標為（0，-6），
∴直線AC的解析式為y=-2x-6，
∵點P為第三象限內拋物線上的一個動點且點P的橫坐標為x（-3＜x＜0）．
∴點P的坐標為（x，2x²+4x-6），點E的坐標為（x，0），點F的坐標為（x，-2x-6），
S=$\frac{1}{2}$×3×（PE-PF）=$\frac{3}{2}$[（-2X-6）-（2x²+4x-6）]=-3（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{4}$，
∵-3＜0，
∴當x=-$\frac{3}{2}$時，S有最大值$\frac{27}{4}$；

（3）如圖2中，

∵y=m（x+3）（x-1）=m（x²+2x-3）=m（x+1）²-4m，
∴點D的坐標為（-1，-4m），
∴AC²=（-3-0）²+（3m）²=9+9m²，
AD²=（-3+1）²+（4m）²=4+16m²，
CD²=（1）²+（-3m+4m）²=1+m²，
∵△OBC是直角三角形，
∴欲使得以A、D、C三點為頂點的三角形與△OBC相似，
∴△ACD必須是直角三角形，
①當∠ACD=90°時，∵AC²+CD²=AD²，
∴9+9m²+1+m²=4+16m²，
解得m=±1，
∵m＞0，
∴m=1，
此時$\frac{AC}{CD}$=3，$\frac{CO}{OB}$=3，
∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{CO}{OB}$，∵∠ACD=∠COB=90°，
∴△ACD∽△COB，符合題意．
②當∠ADC=90°，則AD²+CD²=AC²，
即4+16m²+1+m²=9+9m²，
解得：m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∵m＞0，
∴m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
此時，$\frac{AD}{CD}$=2$\sqrt{2}$，$\frac{CO}{OB}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AD}{CD}$≠$\frac{CO}{OB}$，
顯然△ACD與△OBC不相似，不符合題意，
∴綜上所述，只有當m=1時，以A、D、C三點為頂點的三角形與△OBC相似．

點評 本題考查二次函數綜合題、一次函數的應用、待定系數法、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會構建二次函數解決最值問題，學會用分類討論的思想思考問題，學會利用參數，構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．