Question

（本小題滿分12分）如圖，海事救援指揮中心A接到海上SOS呼救：一艘漁船B在海上碰到暗礁，船體漏水下沉，5名船員需要援救.經測量漁船B到海岸最近的點C的距離BC＝20km，∠BAC＝22°37′，指揮中心立即制定三種救援方案（如圖1）：

①派一艘沖鋒舟直接從A開往B；②先用汽車將沖鋒舟沿海岸線送到點C，然后再派沖鋒舟前往B；③先用汽車將沖鋒舟沿海岸線送到距指揮中心33km的點D，然后再派沖鋒舟前往B.

已知沖鋒舟在海上航行的速度為60km/h，汽車在海岸線上行駛的速度為90km/h.

（sin22°37′＝，cos22°37′＝，tan22°37′＝）

（1）通過計算比較，這三種方案中，哪種方案較好（汽車裝卸沖鋒舟的時間忽略不計）？

（2）事后，細心的小明發現，上面的三種方案都不是最佳方案，最佳方案應是：先用汽車將沖鋒舟沿海岸線送到點P處，點P滿足cos∠BPC＝（沖鋒舟與汽車速度的比），然后再派沖鋒舟前往B（如圖2）.請你說明理由！

如果你反復探索沒有解決問題，可以選取①、②、③兩種研究方法：

方案①：在線段上AP任取一點M；然后用轉化的思想，從幾何的角度說明汽車行AM加上沖鋒舟行BM的時間比車行AP加上沖鋒舟行BP的時間要長。（本小問滿分6分，可得4分）

方案②：在線段上AP任取一點M；設AM＝x；然后用含有x的代數式表示出所用時間t；（本小問滿分6分，可得3分）

方案③：利用現有數據，根據cos∠BPC＝計算出汽車行AP加上沖鋒舟行BP的時間；（本小問滿分6分，可得2分）

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）分別計算出各種方案的所用時間，然后比較大小即可；（2）過點M作MHBP,垂足為H，將銳角三角形轉化為直角三角形，利用特殊角的三角函數值求出距離，然后可求所用時間.

試題解析：【解析】
（1） ， ，

方案①小時＝52分鐘

②小時＝52分鐘

③＝小時＝47分鐘

方案③較好 （每個方案2分，計6分）

（2）【解析】
點M為AP上任意一點，汽車開到M點放沖鋒舟下水

用時

汽車開到P放沖鋒舟下水，用時

延長BP過M作于H

，

汽車行MP的時間＝沖鋒舟行PH的時間

（4分）

（3）當點M在PC上任意一點時，過M作于H

同理可證：>tp （6分）

方案②（3分）

（當時，最小，此時cos∠BPC＝）

方案③小時（2分）

考點：1.解直角三角形的應用；2.勾股定理.