Question

（本題滿分10分）如圖，扇形OAB的半徑OA＝r，圓心角∠AOB＝90º，點C是上異于A、B的動點，過點C作CD⊥OA于點D，作CE⊥OB于點E，點M在DE上，DM＝2EM，過點C的直線CP交OA的延長線于點P，且∠CPO＝∠CDE．

（1）試說明：DM＝r；

（2）試說明：直線CP是扇形OAB所在圓的切線；

Answer 1

（1）見解析（5分） （2）見解析（5分）

【解析】

試題分析：（1）連接OC，可證明四邊形ODCE是矩形，所以DE=OC=r，又DM＝2EM，所以DM=DE;（2）根據條件證明PC⊥OC即可.

試題解析：（1）證明：連接OC，∵點C是上異于A、B的點，又CD⊥OA于點D，CE⊥OB于點E，∴∠ODC=∠OEC=∠AOB=90°，∴四邊形ODCE是矩形，∴DE=OC．∵OC=OA=r，∴DE=r．又∵DM=2EM，∴DM=r；（2）證明：設OC與DE交于點F，則在矩形ODCE中，FC=FD，∴∠CDE=∠DCO，又∵∠CPD+∠PCD=90°，∠CPD=∠CDE，∴∠DCO+∠PCD=90°，即PC⊥OC于點C，又∵OC為扇形OAB的半徑，∴PC是扇形OAB所在圓的切線.

考點：1.矩形的判定與性質；2.切線的判定.